الأعداد المركبة لها مكانة عالية في علم الرياضيات، كما أنها تلعب دورا كبيرا فى التطبيقات العلمية المختلفة، حيث يصنف الرياضيون الأعداد إلى مجموعات متداخلة، هي عبارة عن مجموعة من الأعداد الطبيعية والصحيحة النسبية والمركبة إلى أخره.
من المعروف ان علم الرياضيات هو علم وضعه البشر ولهم الحق في تطويره وتجديده وفق قواعد واضحة تخضع للمنطق الرياضي ولا تنافي المبادئ الرياضية والموضوعات والبديهيات في علم الرياضيات.
الأعداد المركبة لها مكانة عالية في علم الرياضيات، كما أنها تلعب دورا كبيرا فى التطبيقات العلمية المختلفة، حيث يصنف الرياضيون الأعداد إلى مجموعات متداخلة، هي عبارة عن مجموعة من الأعداد الطبيعية والصحيحة النسبية والمركبة إلى أخره.
حيث يعتبر العدد المركب أو العدد العقدي، هو أي عدد يُكتب على الصورة “س+ص ع” حيث أن س و ص عددان حقيقيان و ع عدد خيالي مربعه يساوي 1- (أي أن ) ويسمى وحدة تخيلية.
ويسمي العدد الحقيقي س بالجزء الحقيقي، والعدد الحقيقي ص بالجزء التخيلي. فمثلا، 3 + 2i هو عدد مركب، فيه 3 هو الجزء الحقيقي و 2 هو الجزء التخيلي.
وعندما يكون “ص” (أي الجزء التخيلي) مساوياً ل 0، فإن قيمة العدد المركب تساوي قيمة الجزء الحقيقي “س” فقط ، ويسمي العدد عددًا حقيقيـًا صرفًا. وعندما يكون “س” (أي الجزء الحقيقي) مساويا ل 0، يكون العدد تخيليـًا صرفـًا.
ومن الممكن إجراء العمليات الحسابية العادية على الأعداد المركبة كالجمع والطرح والضرب والقسمة بطريقة تماثل الأعداد الحقيقية مع بعض الاختلافات خاصةً في عملية القسمة.
ولكنها أيضـًا تتمتع بخصائص أخرى تمكنها من حل كافة المعادلات الجبرية العادية التي يصعب حلها باستخدام الأعداد الحقيقية فقط.
عندما وجد الرياضيون أن المعادلة مستحيلة الحل في مجموعة الأعداد الحقيقية كان لابد من وضع حل لها، لذلك تمّ إيجاد عدد جديد هو العدد التخيلي i.
وتعريف العدد iهو الجذر التربيعي للعدد 1-. وهنا يكمن التعقيد. فمن المعلوم أنه ليس للعدد 1- جذر تربيعي، ولكن هذا في الأعداد الحقيقية، فكما أنه لا وجود للعدد 5- في الأعداد الطبيعية ولكنه موجود في الأعداد الصحيحة (والحال نفسه بالنسبة للعدد ) .
ويرجع أول ظهور للأعداد المركبة إلى عام 1545 وذلك حينما نشر عالم الرياضيات الإيطالي جيرولامو كاردانو حل للمعادلات من الدرجة الثالثة، ولكنه فهمه لهذه الأعداد كان بدائيا فيما بعد عمل عالم الرياضيات رافائيل بومبيلي في هذا المجال.
ويمكن أن تستخدم الأعداد المركبة في العديد من التطبيقات التي تدخل في حياتنا، كالهرباء، والديناميكا، والنظرية النسبية، وميادين الفيزياء المختلفة، وهذه الأعداد هي أعداد مرنة لها القدرة على الوصول إلى النتيجة النهائية بشكل مرضٍ.
وتتسم الأعداد المركبة بعدة خصائص وهي:
تساوي عددين مركبين:
يتساوى العددان المركبان ع1 =أ+ب ت، و ع2 =ج+ د ت، إذا وفقط إذا كان أ=ج، و ب=د. عملية الجمع على مجموعة الأعداد المركبة: يتم جمع العددين ع1=أ+ب ت، و ع2 =ج+د ت، من خلال العلاقة الآتية: (أ+ج) + (ب+د) ت، وعملية الجمع على الأعداد المركبة هي مغلقة، وتجميعية، وتبديلية، ويوجد لها عنصر محايد ونظير جمعي.
عملية الطرح على مجموعة الأعداد المركبة:
يتم طرح العددين ع1=أ+ب ت، و ع2 =ج+د ت، من خلال العلاقة الآتية: (أ-ج) + (ب-د) ت. عملية الضرب على الأعداد المركبة: يتم ضرب العددين ع1=أ+ب ت، و ع2 =ج+د ت، من خلال العلاقة الآتية: (أ ج – ب د) + (أ د + ب ج) ت، وعملية الضرب على الأعداد المركبة هي مغلقة، وتجميعية، وتبديلية، ويوجد لها عنصر محايد ونظير جمعي.
عملية القسمة بين عددين مركبين:
يمكن إجراء عملية قسمة عددين مركبين بأن يتم ضرب كلٍّ من البسط والمقام في مرافق المقام لجعل المقام عدداً حقيقيا، فإذا كان ع1 =س1 + ص1 ت، ع2 = س2 + ص2 ت، حيث ع2 لا يساوي صفر، فإن ع1\ع2 =( س1 + ص1 ت\ س2 + ص2 ت) × (س2 – ص2 ت\ س2 – ص2 ت).
